Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣klnx，（常數(shù)k＞0）．
（1）試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意x≥1，f（x）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=1﹣ ，且定義域?yàn)椋?，+∞），

當(dāng)f'（x）＞0，即有x＞k；所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（k，+∞）；

當(dāng)f'（x）＜0，即有0＜x＜k，所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，k）

（2）解：若0＜k＜1，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上遞增，故只要f（1）=1＞0即可；

若k＞1，函數(shù)f（x）在（1，k）上遞減，在（k，+∞）上遞增，

故只要f（k）=k（1﹣lnk）＞0，即1＜k＜e；

若k=1時(shí)，f（x）=x﹣lnx，對(duì)x≥1，有f（x）＞0成立；

故實(shí)數(shù)k的取值范圍為（0，e）

【解析】（1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，當(dāng)f'（x）＞0即可求出單調(diào)遞增區(qū)間，f'（x）＜0即可求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分類(lèi)討論參數(shù)k的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值判斷即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．