Question

9．已知函數(shù)f（x）=mlnx-x²+（2m-1）x，（m∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)m＞0，證明：當0＜x＜m時，f（m+x）＞f（m-x）；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于A、B兩點，線段AB的中點的橫坐標為x0，f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當b=2時，求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)y=f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f′（x）＜0有解，又因為x＞0時，則ax²+2x-1＞0有x＞0的解，分類討論，即可求得a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)則t₁=m+x，t₂=m-x，則t₁+t₂=2m，t₁-t₂=2x，利用做差法，得到f（m+x）-f（m-x）=mln$\frac{m+x}{m-x}$-2x，構(gòu)造函數(shù)$g（x）=mln\frac{m+x}{m-x}-2x$，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明；
（Ⅲ）設(shè)點A，B的坐標分別是（x₁，0），（x₂，0），0＜x₁＜x₂，利用（Ⅰ）（Ⅱ）即可證明．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
∴$f'（x）=\frac{m}{x}-2x+2m-1=-\frac{（2x+1）（x-m）}{x}$，
當m≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當m＞0時，若x∈（0，m），則f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
若x∈（m，+∞），則f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
（Ⅱ）設(shè)則t₁=m+x，t₂=m-x，則t₁+t₂=2m，t₁-t₂=2x，
∴f（t₁）-f（t₂）=mln$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$-（t₁-t₂）（t₁+t₂）+（2m-1）（t₁-t₂）=mln$\frac{m+x}{m-x}$-2x，
∴f（m+x）-f（m-x）=mln$\frac{m+x}{m-x}$-2x，
設(shè)$g（x）=mln\frac{m+x}{m-x}-2x$，
則$g'（x）=\frac{{2{m^2}}}{{{m^2}-{x^2}}}$，且m＞0，0＜x＜m，
∴g'（x）＞0，g（x）在（0，m）上遞增，
∴g（x）＞g（0）=m＞0，
∴f（m+x）＞f（m-x）．
（Ⅲ）設(shè)A，B的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂則x₁+x₂=2x₀
由（Ⅰ）可知m＞0，且0＜x₁＜m＜x₂，
由（Ⅱ）可得f（2m-x₁）=f（m+（m-x₁））＞f（m-（m-x₁））=f（x₁）=f（x₂）=0，
又∵f（x）在（m，+∞）上單調(diào)遞減，
∴2m-x₁＜x₂即2m＜x₁+x₂=2x₀?m＜x₀
由（Ⅰ）f'（x₀）＜0．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的難度．