Question

20．試求出函數y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的單調遞增區(qū)間和最大值．

Answer 1

分析 由二倍角公式得到y(tǒng)=sin（2x+$\frac{π}{4}$），由此能求出函數y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的單調遞增區(qū)間和最大值．

解答 解：y=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的單調遞增區(qū)間滿足：
-$\frac{π}{2}+2kπ$$≤2x+\frac{π}{4}≤$$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得-$\frac{3}{8}π+kπ$≤x≤$\frac{π}{8}+kπ$，
∴函數y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的單調遞增區(qū)間為[-$\frac{3}{8}π+kπ$，$\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z；
函數y=cos²x-sin²x+2sinxcosx的最大值為1．

點評 本題考查函數的單調增區(qū)間和最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數的性質的合理運用．