Question

【題目】已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知動直線過點，交拋物線于，兩點，坐標(biāo)原點為的中點，求證；

（3）在（2）的條件下，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）存在；直線

【解析】

（1）根據(jù)橢圓焦點坐標(biāo)可求得的值，從而求得拋物線的方程；

（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，并求得點的坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率不存在時利用拋物線的對稱性可使問題得證，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立拋物線的方程，從而利用韋達(dá)定理與斜率公式可使問題得證；

（3）首先設(shè)直線滿足題意，由此得到圓心的坐標(biāo)，然后過點作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線與圓的一個交點為，從而根據(jù)求出的值，使問題得解.

解：（1）設(shè)拋物線的方程為

由題意可知，拋物線的焦點為

∴

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設(shè)，

由為的中點，得點的坐標(biāo)為

當(dāng)垂直于軸時，由拋物線的對稱性知；

當(dāng)不垂直于軸時，設(shè)

由，

∴

∵，，

∴

∴.

（3）設(shè)存在直線滿足題意

由（2）知圓心，過作直線的垂線，垂足為，則

設(shè)直線與圓的一個交點為，連接，則

即

.

當(dāng)時，，

此時直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值，因此存在直線滿足題意.