Question

在直三棱柱（側(cè)面垂直于底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AA₁記線段CD、A₁B₁的中心分別是P、E連接AE、BP，得到如圖所示的幾何體
（1）若AA₁=a，圖甲給出了異面直線之間的距離的一種算法框圖（其中異面直線的公垂線是指兩異面直線都垂直且相交的直線）請利用這種方法求異面直線AE和BP之間的距離；
（2）若AA₁=2，在線段A₁P上是否存在一點F，使得平面AFB⊥平面A₁BP？若存在，指出點F的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；
（3）若AA₁=a，在線段A₁C上有一M，過點M做垂直于平面A₁ACC₁的直線l，與直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的其他側(cè)面相交于N，過CM=x，MN=y，求函數(shù)y=f（x）的解析式，并據(jù)此求出線段MN的長度最大值．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（1）分別以AD、AB、AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AE和BP之間的距離．
（2）假設(shè)在線段A₁P上存在滿足題意的點F，設(shè)F（x，y，z），分別求出平面A₁BP的一個法向量和平面AEB的一個法向量，再利用向量法進行計算．
（3）根據(jù)題意作出圖，分0≤x≤

3

2

a和

3

2

a＜x≤

3

a兩種情況進行分類討論，由此能求出函數(shù)y=f（x）的解析式，并據(jù)此求出線段MN的長度最大值．

解答： 解：（1）由題意知四邊形ABCD為正方形，
∴AD，AB，AA₁三線兩兩垂直，
分別以AD、AB、AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則由題意知A（0，0，0），E（0，

a

2

，a），B（0，a，0），P（a，

a

2

，0），
設(shè)異面直線AE與BP的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

AE

•

n

=0，

BP

•

n

=0，
∴

a 2 y+az=0 ax- a 2 y=0

，∴

n

=(1，2，-1)，
又∵

AP

=（a，

a

2

，0），
∴異面直線AE和BP之間的距離：
d=

| AP • n |

| n |

=

|a+a+0|

6

=

6

3

a．
（2）∵AA₁=2，∴A₁（0，0，2），P（2，1，0），B（0，2，0），
∴

A1P

=(2，1，-2)，

A1B

=（0，2，-2），
設(shè)平面A₁BP的一個法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），
則

A1P • n1 =2x1+y1-2z1=0 A1B • n1 =2y1-2z1=0

，
∴

n1

=(1，2，2)，
假設(shè)在線段A₁P上存在滿足題意的點F，設(shè)F（x，y，z），
由

A1F

=λ

A1P

，（0≤λ≤1），
即（x，y，z-2）=λ（2，1，-2），
得x=2λ，y=λ，z=2-2λ，
∴F（2λ，λ，2-2λ），
則

AF

=（2λ，λ，2-2λ），

AB

=(0，2，0)，
設(shè)平面AEB的一個法向量

n2

=(x2，y2，z2)，
則

AF • n2 =2λx2+λy2+(2-2λ)z2=0 AB • n2 =2y2=0

，
∴

n2

=（λ-1，0，λ），
∵平面AFB⊥平面A₁BP，
∴

n1

•

n2

=λ-1+2λ=0，解得λ=

1

3

．
∴存在這樣的點，
當點F為線段A₁P上靠近A₁的一個三等分點時，符合題意．
（3）根據(jù)題意作出圖如圖1，
①當0≤x≤

3

2

a時，
把MN向平面ABC內(nèi)正投影得到M′N′，如圖2，
則MN=M′N′，
∵

CM′

CM

=

CA

CA1

=

2 a

3 a

=

6

3

，
∴CM′=

6

3

x
在等腰直角三角形M′N′C中，M‘N’=CM‘=

6

3

x，
∴MN=

6

3

x，
∴當0≤x≤

3

2

a時，y=

6

3

x．
②當

3

2

a＜x≤

3

a時，
把MN向平面ABC內(nèi)正投影得到M′N′，如圖3，
則MN=M′N′，
∵

AM′

A1M

=

CA

CA1

=

2 a

3 a

=

6

3

，
∴AM′=

6

3

(

3

a-x)，
在等股直角三角形M′N′A中，
M′N′=AM′=

6

3

(

3

a-x)，
∴MN=

6

3

(

3

a-x)，
∴當

3

2

a＜x≤

3

a時，MN=

6

3

(

3

a-x)．
綜上所述，y=

6 3 x，0≤x≤ 3 2 a 6 3 ( 3 a-x)， 3 2 a＜x≤ 3 a

，
∴當x=

3

2

a時，y_max=

2

2

a．

點評：本題考查異面直線的距離的求法，考查滿足條件的點的確定，考查函數(shù)解析式的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．