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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有an，Sn，成等差數列．

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；

(Ⅱ)設數列{bn}的前n項和為Tn，且，求證:對任意實數x∈(1，e]

(e是常數，e＝2.71828…)和任意正整數n，總有Tn＜2；

(Ⅲ)正數數列{cn}中，an+1＝(cn)n+1，(n∈N*)．求數列{cn]中的最大項．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：由已知：對于，總有 ①成立

　　∴　 (n ≥ 2)②

　�、伲诘�

　　∴

　　∵均為正數，∴(n≥2)

　　∴數列是公差為1的等差數列

　　又n＝1時，，解得＝1

　　∴.()

　　(Ⅱ)證明：∵對任意實數和任意正整數n，總有≤.

　　∴

　　

　　(Ⅲ)解：由已知　，

　　

　　易得　

　　猜想n≥2時，是遞減數列.

　　令

　　∵當

　　∴在內為單調遞減函數.

　　由.

　　∴n≥2時，是遞減數列.即是遞減數列.

　　又，∴數列中的最大項為.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有2Sn=an2+an．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設正數數列{cn}滿足an+1=（cn）n+1，（n∈N*），求數列{cn}中的最大項；

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科目：高中數學 來源： 題型：

設數列{an}的各項均為正數，它的前n項和為Sn（n∈N*），已知點（an，4Sn）在函數f （x）=x2+2x+1的圖象上．
（1）證明{an}是等差數列，并求an；
（2）設m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk
；
（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，總有an、Sn、（an）2成等差數列．
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）設bn=an(
1
2
)n，數列{bn}的前n項和是Tn，求證：
1
2
≤Tn＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若數列{an}的前n項和為Sn，則下列命題：
（1）若數列{an}是遞增數列，則數列{Sn}也是遞增數列；
（2）數列{Sn}是遞增數列的充要條件是數列{an}的各項均為正數；
（3）若{an}是等差數列（公差d≠0），則S1•S2…Sk=0的充要條件是a1•a2…ak=0．
（4）若{an}是等比數列，則S1•S2…Sk=0（k≥2，k∈N）的充要條件是an+an+1=0．
其中，正確命題的個數是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•奉賢區(qū)二模）數列{an} 的各項均為正數，a1=p，p＞0，k∈N*，an+an+k=f（p，k）•pn．
（1）當k=1，f（p，k）=p+k，p=5時，求a2，a3；
（2）若數列{an}成等比數列，請寫出f（p，k）滿足的一個條件，并寫出相應的通項公式（不必證明）；
（3）當k=1，f（p，k）=p+k時，設Tn=a1+2a2+3a3+…+2an+an+1，求Tn．

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