Question

已知橢圓C₁：，拋物線C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點．
（1）當AB⊥x軸時，求p，m的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；
（2）若且拋物線C₂的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程．

Answer 1

解：（1）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為
x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，-）．
因為點A在拋物線上，所以，即．
此時C₂的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上．（6分）
（2）解法一　當C₂的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x-1）．
由消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…①
設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=．
因為AB既是過C₁的右焦點的弦，又是過C₂的焦點的弦，
所以，且．
從而．
所以，即．解得．…（12分）
因為C₂的焦點在直線y=k（x-1）上，所以．即．
當時，直線AB的方程為；
當時，直線AB的方程為．…（15分）
解法二　當C₂的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程
為y=k（x-1）．
由消去y得．…①
因為C₂的焦點在直線y=k（x-1）上，
所以，即．
代入①有．即．…②
設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程②的兩根，
x₁+x₂=．
由消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…③
由于x₁，x₂也是方程③的兩根，所以x₁+x₂=．
從而=．解得．…．（12分）
因為C₂的焦點在直線y=k（x-1）上，
所以．
即．
當時，直線AB的方程為；
當時，直線AB的方程為．…．（15分）
解法三　設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
因為AB既過C₁的右焦點F（1，0），又是過C₂的焦點，
所以．
即．…①
由（Ⅰ）知x₁≠x₂，
于是直線AB的斜率，…②
且直線AB的方程是y=-3m（x-1），
所以．…③
又因為，
所以．…④
將①、②、③代入④得，
即．…．（12分）
當時，直線AB的方程為；
當時，直線AB的方程為．…．（15分）
分析：（1）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為x=1，由此能夠判斷出C₂的焦點坐標不在直線AB上．
（2）解法一：當C₂的焦點在AB時，設直線AB的方程為y=k（x-1）．由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），x₁+x₂=．由AB既是過C₁的右焦點的弦，又是過C₂的焦點的弦，所以．由此入手能夠求出直線AB的方程．
解法二：當C₂的焦點在AB時，設直線AB的方程y=k（x-1）．由得．因為C₂的焦點在直線y=k（x-1）上，所以．．由此入手能夠求出直線AB的方程．
解法三：設A、B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），因為AB既過C₁的右焦點F（1，0），又是過C₂的焦點，所以．由此入手能夠求出直線AB的方程．
點評：本昰考查直線和圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．