Question

給定的拋物線y²=2px（p＞0），在x軸上是否存在一點K，使得對于拋物線上任意一條過K的弦PQ，均有

1

|KP|2

+

1

|KQ|2

為定值，若存在，求出點K及定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：先假設(shè)存在點K滿足條件，然后設(shè)出直線PQ的參數(shù)方程后代入到拋物線中得到關(guān)于t的一元二次方程，進而根據(jù)韋達定理得到兩根之和與兩根之積，再代入到

1

|KP|2

+

1

|KQ|2

中得到

1

|KP|2

+

1

|KQ|2

=

p2cos2α+px0sin2α

p2x02

，從而可得到使得

1

|KP|2

+

1

|KQ|2

不隨α變化而變化，只要取x₀=p即可滿足要求，即可求出點K的坐標．

解答：解：設(shè)存在點K（x₀，0）滿足題意，
直線PQ：

x=x0+tcosα y=tsinα

（α為直線的傾斜角，t為參數(shù)），
代入y²=2px，得t²sin²α-（2pcosα）t-2px₀=0，
令t₁，t₂為方程的兩根，則由韋達定理，
得t₁+t₂=

2pcosα

sin2α

，t₁t₂=-

2px0

sin2α

，
∴

1

|KP|2

+

1

|KQ|2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

t 2 1 + t 2 2

t 2 1 t 2 2

=

( t   1 + t   2 )2-2 t   1 t   2

( t   1 t   2 )2

=

4p2cos2α+4px0sin2α

4p2x02

=

p2cos2α+px0sin2α

p2x02

要使得

1

|KP|2

+

1

|KQ|2

不隨α變化而變化，只要取x₀=p即可，
此時

1

|KP|2

+

1

|KQ|2

=

1

p2

為定值．這就是說這樣的K存在，即K（p，0）．

點評：本題主要考查直線方程的參數(shù)形式和直線與拋物線的綜合應用．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點，每年必考，要多加練習．