Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R⁺，且有：
①f（$\frac{1}{2}$）=1；
②對任意正實數(shù)x，y，都有f（x•y）=f（x）+f（y）
③f（x）為減函數(shù)．
（1）求：f（$\frac{1}{4}$），f（$\frac{1}{8}$），f（1），f（2），f（4）的值；
（2）求證：當x∈[1，+∞）時，f（x）≤0
（3）求證：當x，y∈R⁺時．都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（4）解不等式：f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

分析 （1）利用對任意正實數(shù)x，y，都有f（x•y）=f（x）+f（y），代入計算求：f（$\frac{1}{4}$），f（$\frac{1}{8}$），f（1），f（2），f（4）的值；
（2）利用f（x）為減函數(shù)，證明當x∈[1，+∞）時，f（x）≤0；
（3）利用對任意正實數(shù)x，y，都有f（x•y）=f（x）+f（y），證明：當x，y∈R⁺時．都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（4）不等式：f（-x）+f（3-x）≥-2，可化為f[-x（3-x）]≥f（4），利用f（x）為減函數(shù)，即可解不等式．

解答 （1）解：f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=2，
f（$\frac{1}{8}$）=f（$\frac{1}{2}•\frac{1}{4}$）=3，
f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0
f（1）=f（2•$\frac{1}{2}$）=f（2）+1，∴f（2）=-1，
f（4）=f（2•2）=2f（2）=-2；
（2）解：設(shè)1＜x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x₁）＞f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴x∈（1，+∞）時，f（x）＜0
∵f（1）=0，
∴x∈[1，+∞）時，f（x）≤0
（3）證明：當x，y∈R⁺時，f（x）=f（$\frac{x}{y}$•y）=f（$\frac{x}{y}$）+f（y），
∴f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（4）解：∵f（-x）+f（3-x）≥-2，
∴f[-x（3-x）]≥f（4），
∵f（x）為減函數(shù)，
∴-x（3-x）≤4，-x＞0，3-x＞0，
∴-1≤x＜0，
∴不等式的解集為{x|-1≤x＜0}．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法求值，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．