Question

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{a_n}的集合：①， ②.其中，是與無關的常數(shù).

 （Ⅰ）若{}是等差數(shù)列，是其前項的和，，，證明：;

 （Ⅱ）設數(shù)列{}的通項為，且，求的取值范圍；

（Ⅲ）設數(shù)列{}的各項均為正整數(shù)，且.證明.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）M≥7（Ⅲ）見解析

【解析】解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{}的公差是d，則，解得，

所以          (2分)

由=－1＜0

得適合條件①；

又所以當n=4或5時，取得最大值20，即≤20，適合條件②

綜上，                  （4分）

（Ⅱ）因為,所以當n≥3時，，此時數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減；當n=1，2時，，即b₁＜b₂＜b₃，因此數(shù)列{b_n}中的最大項是b₃=7

所以M≥7               （8分）

（Ⅲ） 假設存在正整數(shù)k，使得成立

由數(shù)列{}的各項均為正整數(shù)，可得，即

因為，所以

由

因為

……………………依次類推，可得

設

這顯然與數(shù)列{}的各項均為正整數(shù)矛盾！

所以假設不成立，即對于任意n∈N^*,都有成立.          ( 14分)