Question

20．已知焦距為2$\sqrt{6}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點A（2，1）
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：x-2y-$\sqrt{6}$=0，直線l′平行于直線l，且與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM的傾斜角為θ₁，直線AN的傾斜角為θ₂，試探究θ₁+θ₂是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得橢圓的焦距，再由橢圓過點A（2，1）可得關(guān)于a，b的方程，結(jié)合隱含條件求得a，b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出與直線l：x-2y-$\sqrt{6}$=0平行的直線l′的方程為x-2y+m=0，與橢圓方程聯(lián)立，寫出直線AM，AN的斜率，由斜率和為0可得θ₁+θ₂為定值π．

解答 解：（1）由題意可得，2c=$2\sqrt{6}$，則c=$\sqrt{6}$，
又橢圓經(jīng)過點A（2，1），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，又a²=b²+c²，
∴b²=2，a²=8，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）∵直線l：x-2y-$\sqrt{6}$=0，
∴可設(shè)直線l′的方程為x-2y+m=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，可得8y²-4my+m²-8=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{m}{2}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-8}{8}$，
∴x₁+x₂=2（y₁+y₂）-2m=-m，x₁x₂=（2y₁-m）（2y₂-m）=$4{y}_{1}{y}_{2}-2m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{{m}^{2}}{2}-4$，
∴k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{2}-2{y}_{1}+2+{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{1}-2{y}_{2}+2}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}-（2+m）（{y}_{1}+{y}_{2}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0，
∴tanθ₁+tanθ₂=0，
即θ₁+θ₂=π．

點評 本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程的求法．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．