Question

7．已知點M（1，0），A，B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的動點，且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，則$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{BA}$的取值范圍是[$\frac{2}{3}$，9]．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{MA}•（\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}）$=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，設A（2cosα，sinα），可得${\overrightarrow{MA}}^{2}$=（2cosα-1）²+sin²α=3cos²α-4cosα+2=3（cosα-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，即可求出$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{BA}$的取值范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{MA}•（\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}）$=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，
設A（2cosα，sinα），則${\overrightarrow{MA}}^{2}$=（2cosα-1）²+sin²α=3cos²α-4cosα+2=3（cosα-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
∴cosα=$\frac{2}{3}$時，${\overrightarrow{MA}}^{2}$的最小值為$\frac{2}{3}$；cosα=-1時，${\overrightarrow{MA}}^{2}$的最大值為9，
故答案為：[$\frac{2}{3}$，9]．

點評 本題考查橢圓方程，考查向量的數量積運算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．