Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=2012，數(shù)列{a_n}前n項和記為S_n，S₃=1509．
（1）求等比數(shù)列{a_n}的公比q；
（2）求數(shù)列{S_n}的最大項和最小項；
（3）證明{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列，如果所有這些等差數(shù)列的公差構成一個數(shù)列{d_n}，證明：數(shù)列{d_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式建立方程即可求等比數(shù)列{a_n}的公比q；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式即可求數(shù)列{S_n}的最大項和最小項；
（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義進行證明即可．

解答：解：（1）S3=2012(1+q+q2)=1509，q2+q+

1

4

=0，
∴q=-

1

2

．
（2）Sn=

a1[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2

3

a1[1-(-

1

2

)n]
①當n是奇數(shù)時，Sn=

2

3

a1[1+(

1

2

)n]，單調(diào)遞減，
∴S1＞S3＞S5＞…＞S2n-1＞

2

3

a1，
②當n是偶數(shù)時，Sn=

2

3

a1[1-(

1

2

)n]，單調(diào)遞增，
∴S2＜S4＜S6＜…＜S2n＜

2

3

a1；
綜上，當n=1時，S_n有最大值為S₁=2012； 
當n=2時，S_n有最小值為S₂=1006．
（3）{a_n}隨n增大而減小，數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項均正數(shù)且遞減，偶數(shù)項均負數(shù)且遞增．
①當n是奇數(shù)時，調(diào)整為a_n+1，a_n+2，a_n．
則an+1+an=a1(-

1

2

)n+a1(-

1

2

)n-1=

a1

2n

，2an+2=2a1(-

1

2

)n+1=

a1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，a_n+1，a_n+2，a_n成等差數(shù)列；
②當n是偶數(shù)時，調(diào)整為a_n，a_n+2，a_n+1；
則an+1+an=a1(-

1

2

)n+a1(-

1

2

)n-1=-

a1

2n

，2an+2=2a1(-

1

2

)n+1=-

a1

2n

，
∴a_n+1+a_n=2a_n+2，a_n，a_n+2，a_n+1成等差數(shù)列；
綜上可知，數(shù)列{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列
①n是奇數(shù)時，公差dn=an+2-an+1=a1[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n]=

3a1

2n+1

；
②n是偶數(shù)時，公差dn=an+2-an=a1[(-

1

2

)n+1-(-

1

2

)n-1]=

3a1

2n+1

．
無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)，都有dn=

3a1

2n+1

，則

dn

dn-1

=

1

2

，
因此，數(shù)列{d_n}是首項為

3

4

a1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和通項公式的應用，綜合考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學生的計算能力．