Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且橢圓過點，記橢圓的左、右頂點分別為，點是橢圓上異于的點，直線與直線分別交于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作橢圓的切線，記，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為 （2）

【解析】試題分析：

(1)由題意求得， ， ，故橢圓的方程為.

(2)很明顯直線的斜率存在，設(shè)出切線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于實數(shù) 的不等式組，結(jié)合不等式組的性質(zhì)和題意討論可得.

試題解析：

（1）依題意， ，解得， ， ，

故橢圓的方程為.

（2）依題意， ， ，直線，

設(shè)，則.

直線的方程為，令，得點的縱坐標(biāo)為；

直線的方程為，令，得點的縱坐標(biāo)為；

由題知，橢圓在點處切線斜率存在，可設(shè)切線方程為，

由，得，

由，得，

整理得： ，

將， 代入上式并整理得，解得，

所以點處的切線方程為.

令得，點的縱坐標(biāo)為，

設(shè)，所以，

所以，

所以，

將代入上式， ，因為，所以.