精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知橢圓C： $數(shù)學(xué)公式$ （a＞b＞0）上的一動點P到右焦點的最短距離為 $數(shù)學(xué)公式$ ，且右焦點到右準(zhǔn)線的距離等于短半軸的長．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點M（0， $數(shù)學(xué)公式$ ）的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，
則由題設(shè)可知 $\text{[math]}$ ，
解此方程組得 $\text{[math]}$ ，b=1．
所以橢圓C的方程是 $\text{[math]}$ ．…（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在點T（u，v）．若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為 $\text{[math]}$ ，
將它代入橢圓方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0
設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 $\text{[math]}$ …（7分）
因為 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（10分）
當(dāng)且僅當(dāng) $\text{[math]}$ 恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點T，
所以 $\text{[math]}$ 解得u=0，v=1．
此時以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）．…（12分）
當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為x²+y²=1也過點T（0，1）．
綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個定點T（0，1），滿足條件．…（14分）
分析：（Ⅰ）先設(shè)橢圓的焦距為2c，則由題設(shè)得關(guān)于a，b．c的方程，解此方程組得 $\text{[math]}$ ，b=1．最后寫出橢圓C的方程即可；
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在點T（u，v）．若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為 $\text{[math]}$ ，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)運算公式即可求得點T的坐標(biāo)，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的坐標(biāo)運算、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．

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已知橢圓C：

（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率為

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點F₂，交橢圓于點A、B．
（ⅰ）若滿足

（O為坐標(biāo)原點），求△AOB的面積；
（ⅱ）當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角？若存在，求出P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（﹣1，0），F(xiàn)₂（1，0），且橢圓C經(jīng)過點．

（I）求橢圓C的離心率：

（II）設(shè)過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

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（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個頂點為A（2,0），離心率為，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M、N.

①求橢圓C的方程.

②當(dāng)⊿AMN的面積為時，求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省高三第七次月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)，直線y=x+與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心為I，且IG∥F₁F₂。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L：y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點A，B且線段AB的垂直平分線過定點C(，0)求實數(shù)k的取值范圍。