Question

設函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

ax

，a＞0
（1）若f（x）在[2，+∞﹚上單調遞增，求a的取值范圍；
（2）求f（x）在區(qū)間﹙0，1]上的最小值；   
（3）當a=2時，方程f（x）-m=0在[

1

e

，e]上有兩個不同的根，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=

ax-1

ax2

，x＞0．由函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調遞增，知a≥

1

x

在[2，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范圍．
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，由x∈（0，1]，知a≥1，當x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＜0，當x∈（

1

a

，1）時，f′（x）＞0，由此能求出f（x）在區(qū)間（0，1]上的最小值．
（3）由題設知m=lnx+

1-x

2x

在[

1

e

，e]內有兩個不等的實根，令g（x）=lnx+

1-x

2x

，則g'（x）=

1

x

-

1

2x2

，由此能求出m的范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

ax

，a＞0，
∴f′（x）=

ax-1

ax2

，x＞0．
∵函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調遞增，
∴f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[2，+∞）上恒成立．
又∵當x∈[2，+∞）時，

1

x

≤

1

2

，
∴a≥

1

2

，即a的取值范圍為[

1

2

，+∞）．
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，
∵x∈（0，1]，∴0＜

1

a

≤1，即a≥1．
當x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＜0，
當x∈（

1

a

，1）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，1]上的最小值為：
f（x）min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

．
（3）由題設知m=lnx+

1-x

2x

在[

1

e

，e]內有兩個不等的實根，
令g（x）=lnx+

1-x

2x

，則g'（x）=

1

x

-

1

2x2

，
令g'（x）=0，得x=0（舍），x=

1

2

，
所以 在（0，

1

2

]內，g（x）單調減  在[

1

2

，+∞]內g（x）單調增
而g（

1

2

）=ln

1

2

+

1

2

，g（

1

e

）=ln

1

e

+

1- 1 e

2 e

=

e-3

2

＜g（e）=lne+

1-e

2e

=1+

1-e

2e

=

1

2e

+

1

2

，
所以

1

2

+ln

1

2

＜m＜

1

2e

+

1

2

．

點評：本題考查求a的取值范圍和求函數(shù)f（x）在指定區(qū)間上的最小值．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質的靈活運用．