Question

19．已知函數f（x）=-$\frac{2}{3}$ax³+ax²-2x（a為實數）．
（1）若f（x）在R上有極值，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在[-3，-2]上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數f′（x）=-2ax²+2ax-2，由f（x）在R上有極值，說明a≠0且方程-2ax²+2ax-2=0有兩不等實數根，由判別式大于0求得a的取值范圍；
（2）由f（x）在[-3，-2]上是增函數，可得f′（x）=-2ax²+2ax-2≥0在[-3，-2]上恒成立，分離參數a后由函數的單調性求得x²-x的范圍，進一步得到
$-\frac{1}{{x}^{2}-x}$的范圍，則答案可求．

解答 解：由f（x）=-$\frac{2}{3}$ax³+ax²-2x，得f′（x）=-2ax²+2ax-2．
（1）若f（x）在R上有極值，則a≠0且方程-2ax²+2ax-2=0有兩不等實數根，
∴△=4a²-4×（-2a）×（-2）=4a²-16a＞0，
解得：a＜0或a＞4；
（2）f′（x）=-2ax²+2ax-2，
要使f（x）在[-3，-2]上是增函數，則
f′（x）=-2ax²+2ax-2≥0在[-3，-2]上恒成立，
即a（x²-x）≤-1恒成立．
當x∈[-3，-2]時，x²-x＞0，
則$a≤-\frac{1}{{x}^{2}-x}$在[-3，-2]上恒成立．
令t=x²-x，
∵x∈[-3，-2]，∴t∈[6，12]，
∴$-\frac{1}{t}∈[-\frac{1}{6}，-\frac{1}{12}]$，
則$a≤-\frac{1}{6}$．
∴a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{6}$]．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，考查了函數恒成立問題，訓練了利用分離參數法求字母的取值范圍，是中高檔題．