Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且

（1）求橢圓C的方程；

（2）若A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為，且，判斷四邊形是否存在內(nèi)切的定圓？若存在，請(qǐng)求出該內(nèi)切圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）因?yàn)?/span>，所以，，所以，解得，代入方程即可 （2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，由，，因?yàn)?/span>，所以，，，原點(diǎn)到直線的距離，同理可證，原點(diǎn)到達(dá)的距離都為，四邊形存在內(nèi)切的定圓，且該定圓的方程為②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理說明即可

解：(1)因?yàn)?/span>，所以，.因?yàn)橹本�與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，所以，所以，解得，所以，

所以橢圓的方程為

(2)①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)由

得，，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，，即所以，所以原點(diǎn)到直線的距離

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，同理可證，原點(diǎn)到達(dá)的距離都為，

所以四邊形存在內(nèi)切的定圓，且該定圓的方程為

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，不妨設(shè)分別為直線與橢圓的上、下交點(diǎn)，則，

由，得，，解得，

所以此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為.

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，同理可證，原點(diǎn)到達(dá)的距離都為，

所以四邊形存在內(nèi)切的定圓，且該定圓的方程為.

綜上可知，四邊形存在內(nèi)切的定圓，且該定圓的方程為