Question

5．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$都是非零向量，若-3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與5$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow$垂直，16$\overrightarrow{a}$+11$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$-7$\overrightarrow$垂直，試求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 根據(jù)兩非零向量垂直的充要條件即可得到$\left\{\begin{array}{l}{（-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（5\overrightarrow{a}+7\overrightarrow）=0}\\{（16\overrightarrow{a}+11\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-7\overrightarrow）=0}\end{array}\right.$，進行數(shù)量積的運算并解出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{16}（-15{\overrightarrow{a}}^{2}+7{\overrightarrow}^{2}）$=$\frac{1}{90}（32{\overrightarrow{a}}^{2}-77{\overrightarrow}^{2}）$，這樣便可得到${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow}^{2}$，從而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，這樣即可求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：根據(jù)已知條件：$\left\{\begin{array}{l}{（-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（5\overrightarrow{a}+7\overrightarrow）=0}\\{（16\overrightarrow{a}+11\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-7\overrightarrow）=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-15{\overrightarrow{a}}^{2}+7{\overrightarrow}^{2}-16\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0}\\{32{\overrightarrow{a}}^{2}-77{\overrightarrow}^{2}-90\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{16}（-15{\overrightarrow{a}}^{2}+7{\overrightarrow}^{2}）$=$\frac{1}{90}（32{\overrightarrow{a}}^{2}-77{\overrightarrow}^{2}）$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow}^{2}$，即$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°．

點評 考查兩非零向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運算，以及向量夾角的概念及范圍．