Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，可證明出，，得到為平行四邊形，通過，證明出平面；

（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，，由平面平面，得到平面，從而以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，的坐標(biāo)，然后通過，證明；

（3）證明出是平面的法向量，求出平面的法向量，通過法向量的夾角公式，得到二面角的余弦值.

（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，

在等邊三角形中，且，

又因?yàn)?/span>，

所以，又因?yàn)?/span>，

所以，

所以為平行四邊形，

所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面；

（2）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，

因?yàn)槿�角�?/span>是等邊三角形

所以，，

因?yàn)樗倪呅?/span>滿足，，，

所以，，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面，

所以平面，

以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，

所以

所以；

（3）由（2）知，，

因?yàn)榈冗吶�角�?/span>中，為的中點(diǎn)，所以，

平面，

所以平面，

所以是平面的法向量，

又，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，得，

由，

又因?yàn)槎�面�?/span>為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.