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已知雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)為y=±
3
3
x且過(guò)點(diǎn)M（
6
，1）．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）若直線(xiàn)l：y=kx+m，（m≠0）與雙曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，D（0，-1）且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍．
（1）由題意可知：雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)此雙曲線(xiàn)C的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）．
則
b
a
=
3
3
6
a2
-
1
b2
=1
，解得
a2=3
b2=1
．
∴雙曲線(xiàn)C的方程為
x2
3
-y2=1；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
聯(lián)立
y=kx+m
x2-3y2=3
，化為（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，（1-3k2≠0）
由題意△＞0，化為m2+1＞3k2．（*）
∴x1+x2=
6km
1-3k2
，x1x2=
-3m2-3
1-3k2
．
設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則x0=
x1+x2
2
=
3km
1-3k2
，y0=kx0+m=
3k2m
1-3k2
+m=
m
1-3k2
．
∴M(
3km
1-3k2
，
m
1-3k2
).kMD=
m+1-3k2
3km
．
∵|AD|=|BD|，∴kAB•kMD=-1．
∴k•
m+1-3k2
3km
=-1，化為4m+1=3k2，代入（*）得m2+1＞4m+1，
解得m＞4或m＜0．
由3k2=4m+1≥0，解得m≥-
1
4

∴m的取值范圍是[-
1
4
，0）∪（4，+∞）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

點(diǎn)P到x軸的距離比它到點(diǎn)（0，1）的距離小1，稱(chēng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C，點(diǎn)M為直線(xiàn)l：y=-m（m＞0）上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作曲線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
（1）求曲線(xiàn)C的軌跡方程；
（2）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-l）時(shí)，求過(guò)M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷直線(xiàn)l與此圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)M，使MA⊥MB？若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)(
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)AP交l于點(diǎn)M．
（�。┰O(shè)直線(xiàn)OM的斜率為k1，直線(xiàn)BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
（ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M垂直于PB的直線(xiàn)為m．求證：直線(xiàn)m過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓G：x2+y2-2x-
2
y=0，經(jīng)過(guò)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過(guò)圓外一點(diǎn)（m，0）（m＞a）傾斜角為
5π
6
的直線(xiàn)l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點(diǎn)F在以線(xiàn)段CD為直徑的圓E的內(nèi)部，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓E1方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圓E2方程為x2+y2=a2，過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作斜率為k1直線(xiàn)l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C．
（Ⅰ）若k1=1時(shí)，B恰好為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=
1
2
，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)|BA|+|BF2|=2a時(shí)，求k1的值；
（Ⅲ）設(shè)D為圓E2上不同于A的一點(diǎn)，直線(xiàn)AD的斜率為k2，當(dāng)
k1
k2
=
b2
a2
時(shí)，試問(wèn)直線(xiàn)BD是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知拋物線(xiàn)y=x2上有一條長(zhǎng)為2的動(dòng)弦AB，則AB中點(diǎn)M到x軸的最短距離為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C與雙曲線(xiàn)
x2
2
-
y2
6
=1有相同焦點(diǎn)F1和F2，過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為8
3
．若直線(xiàn)y=t（t＞0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E、F，以線(xiàn)段EF為直徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與x軸相切，求圓M被直線(xiàn)x-
3
y+1=0截得的線(xiàn)段長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，|
F1F2
|=2，離心率e=
1
2
，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線(xiàn)l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為
π
4
，求線(xiàn)段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

以橢圓
x2
16
+
y2
4
=1內(nèi)的點(diǎn)M（1，1）為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)方程為_(kāi)_____．

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同步練習(xí)冊(cè)答案