Question

17．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足${\overrightarrow a^2}=4$，$|\overrightarrow b|=2$，$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）=4$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 將式子$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）=4$展開計算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入向量的夾角公式計算即可．

解答 解：∵$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a-\overrightarrow b）=4$，
∴3${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4，
即12-4+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-2．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-2}{2×2}=-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．