Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓上有一點(diǎn)，且點(diǎn)，的極坐標(biāo)分別為，.

（1）求圓的直角坐標(biāo)方程及直線的普通方程；

（2）設(shè)直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）圓的直角坐標(biāo)方程為.直線的普通方程為.（2）

【解析】

（1）先將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)式的圓方程，消去參數(shù)可得直線普通方程，（2）根據(jù)圓的性質(zhì)可得圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值即為圓心到直線的距離與半徑之和，再根據(jù)面積公式得結(jié)果.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，

圓心的直角坐標(biāo)為，

所以圓的半徑，

所以圓的直角坐標(biāo)方程為.

由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得，

故直線的普通方程為.

（2）在直線：中，

令，得；令，得，

所以不妨設(shè)，，所以.

又圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值即為圓心到直線的距離與半徑之和，

設(shè)圓心到直線的距離為，

所以，

所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，

所以面積的最大值為.