Question

函數y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一個周期內，當x=時y取最大值1，當x=時，y取最小值-1．
（1）求函數的解析式y(tǒng)=f（x）．
（2）求該f（x）的對稱軸，并求在[0，π]的單調遞增區(qū)間．
（3）若函數f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內的所有實數根之和．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過同一個周期內，當 時y取最大值1，當 時，y取最小值-1．求出函數的周期，利用最值求出φ，即可求函數的解析式y(tǒng)=f（x）．
（2）根據正弦函數的單調區(qū)間，即可得到函數的單調區(qū)間，再由已知中自變量的取值范圍，進而得到答案．
（3）確定函數在[0，2π]內的周期的個數，利用f（x）=a（0＜a＜1）與函數的對稱軸的關系，求出所有實數根之和．
解答：解：（1）因為函數在同一個周期內，當x=時y取最大值1，當x=時，y取最小值-1，
所以T=，
所以ω=3．
因為 ，
所以 （k∈Z），
又因為 ，
所以可得 ，
∴函數 ．
（2），所以x=，
所以f（x）的對稱軸為x=（k∈Z）；
令-+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，
解得：，k∈Z
又因為x∈[0，π]，
所以令k分別等于0，1，可得x∈，
所以函數在[0，π]上的單調遞增區(qū)間為．
（3）∵的周期為 ，
∴在[0，2π]內恰有3個周期，
∴在[0，2π]內有6個實根且
同理，，
故所有實數之和為 ．
點評：本題主要考查求三角函數的解析式與三角函數的有關基本性質，如函數的對稱性，單調性，掌握基本函數的基本性質，是學好數學的關鍵．