Question

如圖是一個(gè)面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作。第一次操作：分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形，挖去中間一個(gè)三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”；第二次操作：連結(jié)剩余的三個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時(shí)在挖去的3個(gè)三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2”；第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時(shí)在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；……，如此下去，記第次操作后剩余圖形的總面積為

 

（1）求；

（2）求第次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和；

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)

解析:

（1）；……6分

（2）設(shè)第n次操作挖去個(gè)三角形，則是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即，所以所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字的和

則，兩式相減，得：

，故……12分