Question

已知圓方程x²+y²-2ax-4ay+5a²-4=0（a∈R）．
（1）求圓的半徑，圓心坐標(biāo)并求出圓心坐標(biāo)所滿足的直線方程；
（2）試問：是否存在直線l，使對任意a∈R，直線l被圓截得的弦長均為2，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意可得圓的方程為（x-a）²+（y-2a）²=4，
所以半徑為2，圓心坐標(biāo)為（a，2a），
所以圓心坐標(biāo)滿足的直線方程為y=2x．
（2）因為圓心在直線y=2x上，并且對任意a∈R，直線l被圓截得的弦長均為2，
所以所求直線必須平行于直線y=2x，
所以設(shè)所求直線的方程為y=2x+b，
因為該直線被圓截得的弦長均為2，并且半弦長、半徑與弦心距的關(guān)系為，
所以，
所以圓心（a，2a）到該直線的距離為，則，
解的，
所以直線方程為y=2x．
分析：（1）根據(jù)題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-2a）²=4，即可得到半徑與圓心坐標(biāo)，進而得到圓心所在的直線方程．
（2）根據(jù)題意可得：所求直線必須平行于直線y=2x，所以設(shè)所求直線的方程為y=2x+b，再根據(jù)半弦長、半徑與弦心距的關(guān)系為，可得圓心到直線的距離，進而結(jié)合點到直線的距離公式計算出b的數(shù)值，得到答案．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，而當(dāng)直線與圓相交時半弦長、半徑與弦心距的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．