Question

　　已知定義在上的奇函數(shù)在處取得極值.

   （Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

　 （Ⅱ）試證：對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有成立；

  （Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，試求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的面積.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅲ）8

解析:

（I）由題意，∴ ,

∴,又，

        即

        解得.

        ∴------------------------------------------------4分

   （II）∵，,

當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間[－1，1]上為減函數(shù)，

∴

對(duì)于區(qū)間[－1，1]上任意兩個(gè)自變量的值，

∴-------------------------------9分

   （III）設(shè)切點(diǎn)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足

因，故切線的方程為：

，

∵，∴

整理得.

∵若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，

∴關(guān)于方程有三個(gè)實(shí)根.

設(shè)，則

，

由，得或.

由對(duì)稱性，先考慮

∵在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴函數(shù)的極值點(diǎn)為,或

∴關(guān)于方程有三個(gè)實(shí)根的充要條件是

，解得.

故時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的面積

故時(shí)，所求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)平面區(qū)域的面積為，即8.