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已知定義在R上的單調(diào)函數(shù),存在實數(shù),使得對于任意實數(shù),總有恒成立。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若,且對任意正整數(shù),有, ,求數(shù)列{an}的通項公式；

   (Ⅲ)若數(shù)列{bn}滿足，將數(shù)列{bn}的項重新組合成新數(shù)列，具體法則如下：……，求證：。

（Ⅰ）    （Ⅱ）  (Ⅲ)見解析


解析:

(Ⅰ)令，得，①

令，得，，②

由①、②得，又因為為單調(diào)函數(shù)，……（2分）

(Ⅱ)由（1）得，

，……（3分）

……（4分）

，，……（5分）

……（6分）

(Ⅲ)由{Cn}的構(gòu)成法則可知，Cn應(yīng)等于{bn}中的n項之和，其第一項的項數(shù)為

[1+2+…+(n－1)]+1=+1，即這一項為2×[+1]－1=n(n－1)+1

Cn=n(n－1)+1+n(n－1)+3+…+n(n－1)+2n－1=n2(n－1)+=n3 ……（8分）

當(dāng)時，……（12分）

……（14分）

解法2：

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：存在實數(shù)x0，使得對于任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，則（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值為
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實數(shù)x0，使得對于任意實數(shù)x1，x2總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對任意正整數(shù)n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，求Sn和Tn；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]對任意不小于2的正整數(shù)n都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)y=f（x），當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并寫出適合條件的函數(shù)f（x）的一個解析式；
（2）數(shù)列{an}滿足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通項公式an的表達式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，試比較Sn與
4
3
Tn的大小，并加以證明；
③當(dāng)a＞1時，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)對于不小于2的正整數(shù)n恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•黃岡模擬）已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實數(shù)x0，使得對于任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對于任意正整數(shù)n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比較
4
3
Sn與Tn的大小關(guān)系，并給出證明；
（3）在（2）的條件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]對任意不小于2的正整數(shù)n都成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州三模）已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x），存在實數(shù)x0使得對任意實數(shù)x1，x2，總有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且對任意的正整數(shù)n．有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比較
4
3
Sn與Tn的大小關(guān)系，并給出證明．

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