Question

對于定義在D上的函數(shù)f（x），若存在距離為d的兩條直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得對任意x∈D都有kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數(shù)f（x）（x∈D）有一個寬度為d的通道．給出下列函數(shù)：
①f(x)=

3

2x-1

；         ②f(x)=

x2-1

；     ③f(x)=-

1

2

sin(πx+

1

3

)+1；
④f(x)=

1+lnx

x

；        ⑤f(x)=(

1

e

)x+4．
其中在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數(shù)有

 

 （寫出所有正確的序號）

Answer 1

考點：兩條平行直線間的距離,命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于①，求出函數(shù)的值域，然后判斷即可；
對于②，則需從函數(shù)圖象入手，尋找符合條件的直線即可．
對于③要分別考慮函數(shù)的值域和圖象性質(zhì)；
對于④，求出函數(shù)的值域，然后判斷即可．
對于⑤，求出函數(shù)的值域，然后判斷即可．

解答： 解：對于①，f(x)=

3

2x-1

，函數(shù)是減函數(shù)，[1，+∞）f(x)=

3

2x-1

∈(0，3]，在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度不是1的函數(shù)．
對于②，當x∈[1，+∞）時，f(x)=

x2-1

表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-2，滿足在[1，+∞）有一個寬度為1的通道；
對于③，當x∈[1，+∞）時，f(x)=-

1

2

sin(πx+

1

3

)+1∈[

1

2

，

3

2

]，故在[1，+∞）存在一個寬度為1的通道；
對于④，當x∈[1，+∞）時，f(x)=

1+lnx

x

∈（0，1]，故在[1，+∞）存在一個寬度為1的通道；
對于⑤，當x∈[1，+∞）時，f(x)=(

1

e

)x+4∈（4，4+

1

e

），故在[1，+∞）存在一個寬度為1的通道；
故答案為：②③④⑤．

點評：本題考查命題的真假的判斷，函數(shù)的值域的求法，考查計算能力．