Question

已知四棱錐中，平面，底面為菱形，=60，，是線段的中點．

    (1)求證：；

    (2)求平面與平面所成銳二面角的大小；

    (3)在線段上是否存在一點，使得∥平面PAE，并給出證明．

Answer 1

(1)略(2) （3）線段上存在一點，使得∥平面PAE，且F是PD的中點。

解析:

∵四邊形ABCD是的菱形,E為邊BC的中點,

∴AE⊥BC,AE⊥AD,又平面，∴PA⊥AE,PA⊥AD,以AE、AD、AP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則

，-------------1分

（1）-------------2分

∴------------------3分

即PE⊥AD  ---------------------4分

（2）設(shè)平面PCD的法向量為，則⊥，⊥，

∵

∴，

令，則，得平面PCD的一個法向量為，

又⊥平面PAE，則是平面PAE的一個法向量，設(shè)平面PAE與平面PCD所成角為，則

所以平面與平面所成銳二面角的大小為；------------------------8分

（3）在線段上存在一點，使得∥平面PAE，且F是PD的中點，

證明：取PA中點M,連結(jié)MF,易證四邊形CFMB是平行四邊形,所以CF∥EM,

又CF平面PAE,EM平面PAE,所以∥平面PAE.---------------------12分