Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一動點P到右焦點的最短距離為2-

2

，且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點，連接PB交橢圓C于另一點E，證明直線AE與x軸相交于定點Q；
（3）在（2）的條件下，過點Q的直線與橢圓C交于M，N兩點，求

OM

•

ON

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義和性質(zhì)即可解出a、b、c；
（2）利用點斜式方程得出直線PB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系得出點P、B的坐標之間的關(guān)系，再利用點斜式表示直線AE的方程，進而即可證明過定點；
（3）分類討論直線MN是否與x軸垂直，與橢圓方程聯(lián)立得出點MN的坐標之間的關(guān)系，再表示出

OM

•

ON

，進而即可求出其取值范圍．

解答：解：（1）由題意可得

a-c=2- 2 a2 c -c=b a2=b2+c2

解得

a=2 b=c= 2

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）如圖所示：
設(shè)直線PB的方程為y=k（x-4），B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則A（x₁，-y₁）．
聯(lián)立

y=k(x-4) x2 4 + y2 2 =1

，
消去y化為方程（1+2k²）x²-16k²x+32k²-4=0，
∵直線PB與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-4）＞0．（*）
x₁+x₂=

16k2

1+2k2

，x1x2=

32k2-4

1+2k2

．
直線AE的方程為y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，則x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

x1k(x2-4)+x2k(x1-4)

k(x1+x2-8)

=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=

2(32k2-4) 1+2k2 - 4×16k2 1+2k2

16k2 1+2k2 -8

=

-8

-8

=1．
故直線AE過定點Q（1，0）．
（3）①當直線MN與x軸重合時，

OM

•

ON

=（2，0）•（-2，0）=-4；
②當直線MN與x軸不重合時，設(shè)直線MN的方程為my=x-1，
聯(lián)立

my=x-1 x2 4 + y2 2 =1

消去x化為方程（2+m²）y²+2my-3=0，可知△＞0．
可得y_M+y_N=

-2m

2+m2

，y_My_N=

-3

2+m2

．
∴

OM

•

ON

=x_Mx_N+y_My_N=（my_M+1）（my_N+1）+y_My_N=（1+m²）y_My_N+m（y_M+y_N）+1
=

-3(1+m2)

2+m2

+

-2m2

2+m2

+1=-4+

7

2+m2

，
∵m²≥0，∴0＜

7

2+m2

≤

7

2

，∴-4＜-4+

7

2+m2

≤-

1

2

，
∴

OM

•

ON

的取值范圍是(-4，-

1

2

]．
綜上可知：

OM

•

ON

的取值范圍是[-4，-

1

2

]．

點評：熟練掌握橢圓的定義和性質(zhì)、直線與圓錐曲線的相交問題的解題模式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．