【題目】設(shè)
、
為正整數(shù)，
表示的所有正約數(shù)的次方之和.證明：對于任意
，存在無窮多個正整數(shù)，使得
.
【答案】見解析
【解析】
通過遞歸構(gòu)造數(shù)列
，使得該正整數(shù)數(shù)列的每一項均符合要求，并且對任何正整數(shù)
，均有
嚴(yán)格整除
.
先假設(shè)
為
的一個質(zhì)因子.則是奇數(shù).
故
.
從而，
.
于是，
滿足要求.
其次假設(shè)
已經(jīng)取好.
接下來考慮
.
（1）若
有一個質(zhì)因子
，則
.
所以，
符合條件且被
嚴(yán)格整除，取
即可.
（2）若的質(zhì)因子均是的質(zhì)因子，則與
的質(zhì)因子標(biāo)準(zhǔn)分解式中的質(zhì)數(shù)全部一樣，設(shè)這兩個標(biāo)準(zhǔn)分解式為
，
.
由于
（整體大于部分），故必存在某個
.
不妨設(shè)
.則
，
且
.
因為，所以，中含
的冪次大于或等于
.
從而，
.
因此，取
符合要求.
由（1）、（2）及歸納原理，知可以構(gòu)造出數(shù)列.
從而，存在無窮多個
，…滿足要求.
黃岡冠軍課課練系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個人收入的提高，自2019年1月1日起，個人所得稅起征點和稅率的調(diào)整，調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額，依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如下表：
(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記
表示總收入，
表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
(2)某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：
①先從收入在
及
的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅法知識宣講員，用
表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù)，
表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù)，隨機變量
，求
的分布列與數(shù)學(xué)期望；
②小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時，請你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實際收入比調(diào)整前增加了多少?
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖,四棱錐
中,
是正三角形,四邊形ABCD是矩形,且平面
平面
.
(1)若點E是PC的中點,求證:
平面BDE;
(2)若點F在線段PA上,且
,當(dāng)三棱錐
的體積為
時,求實數(shù)
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為
，乙獲勝的概率為
，各局比賽結(jié)果相互獨立．
（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；
（2）用X表示比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求隨機變量X的分布列．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從左到右依次寫出1到10000的全部正整數(shù)，然后去掉那些能被5或7整除的數(shù)，將剩下的數(shù)連成一排組成一個新數(shù)。試求：
（1）新數(shù)的位數(shù)；
（2）新數(shù)被11除的余數(shù)。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，過頂點在原點、對稱軸為
軸的拋物線
上的點
作斜率分別為
，
的直線，分別交拋物線于
，
兩點.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；
（2）若
，證明：直線
恒過定點.
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