Question

在平面直角坐標(biāo)系中,已知,直線, 動(dòng)點(diǎn)到的距離是它到定直線距離的倍. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線為. 

（1）求曲線的軌跡方程.

（2）設(shè)點(diǎn), 若直線為曲線的任意一條切線,且點(diǎn)、到的距離分別為,試判斷是否為常數(shù),請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）是常數(shù)

【解析】

試題分析：解: （1）由題意,設(shè)點(diǎn),則有,點(diǎn)到直線的距離,故,化簡(jiǎn)后得:  .

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 

（2） 是常數(shù),證明如下:

若切線斜率不存在,則切線方程為,此時(shí)

當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)切線:,代入,整理得:

,化簡(jiǎn)得:

又由:, ,

=常數(shù).

綜上,故對(duì)任意切線,是常數(shù)

考點(diǎn)：雙曲線的方程

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于曲線的大題，第一問一般是求出曲線的方程，第二問常與直線結(jié)合起來，當(dāng)涉及到交點(diǎn)時(shí)，常用到根與系數(shù)的關(guān)系式：（）。