Question

已知f（x）=sinx•cosx+sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的圖象關于直線x=x₀對稱，且-1＜x₀＜0，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用二倍角公式化簡函數的表達式，利用周期公式求解周期，函數的單調增區(qū)間求出函數的單調增區(qū)間即可．
（2）若f（x）的圖象關于直線x=x₀對稱，求出關于x₀的關系式，結合k的范圍，求出x₀的值．

解答：解：f（x）=sinx•cosx+sin²x=

1

2

sin2x+

1

2

(1-cos2x)=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

（1）∴最小正周期為T=

2π

2

=π，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

 k∈Z，
得x∈[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]   k∈Z，
∴f（x）的單調增區(qū)間是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]   k∈Z．
（2）由題意：2x0-

π

4

=kπ+

π

2

，得x0=

1

2

kπ+

3π

8

   k∈Z，
∵-1＜x₀＜0，即-1＜ 

1

2

kπ+

3π

8

＜0    k∈Z，
當k=-1時，x0=-

π

8

．

點評：本題考查三角函數的二倍角公式兩角和與差的三角函數的應用，考查函數的基本性質，考查計算能力．