已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，P是橢圓上一點，且
面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線y=2上是否存在點Q，使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。
(1) 
;(2)存在，
.
【解析】
試題分析：(1)通過橢圓性質(zhì)列出
的方程，其中離心率
,分析圖形知道當點P在短軸端點時，
面積取得最大值，所以
,橢圓中
,從而建立關(guān)于
的方程，解出
;即得到橢圓的標準方程；(2)對于存在性的問題，要先假設(shè)存在，先設(shè)存在這樣的點
，
,結(jié)合圖形知道要先討論
,當
時，明顯切線不垂直，當
時，先設(shè)切線
，與橢圓方程聯(lián)立，利用
，得出關(guān)于斜率
的方程，利用兩根之積公式
，解出
點坐標.即
值.此題為較難題型，分類討論時要全面.
試題解析：(1)因為點
在橢圓上，所以
因此當
時，面積最大，且最大值為
又離心率為
即
由于
，解得
所求橢圓方程為
(2)假設(shè)直線
上存在點
滿足題意，設(shè)
，顯然當
時，從
點所引的兩條切線不垂直.
當
時，設(shè)過點
向橢圓所引的切線
的斜率為
，則
的方程為
由
消去
，整理得：
所以，
*
設(shè)兩條切線的斜率分別為
，顯然，
是方程的兩根，故：
解得：
，點
坐標為
或
因此，直線
上存在兩點和
滿足題意.
考點：1.橢圓的性質(zhì)與標準方程；2.直線垂直的判斷；3.存在性問題的求解.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，其右準線上
上存在點
（點在
軸上方），使
為等腰三角形．
⑴求離心率
的范圍；
到兩焦點的距離之和為
，求的內(nèi)切圓的方程．查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期假期檢測考試理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，
點
是橢圓的一個頂點，△
是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
分別作直線
，
交橢圓于
，
兩點，設(shè)兩直線的斜率分別為
，
，且
，證明：直線
過定點（
）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期三校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題
（本題滿分14分） 已知橢圓
的左、右焦點分別為F1、F2，其中
F2也是拋物線
的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且
（I）求橢圓C1的方程； （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線
上，求直線AC的方程。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年云南省德宏州高三高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，離心率
，右準線方程為
．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）過點的直線
與該橢圓交于M、N兩點，且
，求直線的方程．
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