Question

17．若函數f（x）=a^x在區(qū)間[0，2]上的最大值是最小值的2倍，則a的值為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或$\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用指數函數的單調函數，a＞1時，增函數，x=0時，函數取得最小值，x=2時，函數取得最大值．
1＞a＞0時，減函數，x=0時，函數取得最大值，x=2時，函數取得最小值．

解答 解：函數f（x）=a^x，
當a＞1時，增函數，
x=0時，函數f（x）取得最小值，即f（0）=1，
x=2時，函數f（x）取得最大值，即f（2）=a²
由題意：最大值是最小值的2倍，
∴a²=2，
解得：a=$\sqrt{2}$
當1＞a＞0時，減函數，
x=0時，函數f（x）取得最大值，即f（0）=1
x=2時，函數f（x）取得最小值．即f（2）=a²，
由題意：最大值是最小值的2倍，
∴2a²=1，
解得：a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選D

點評 本題考查了指數函數的圖象及性質的運用．當底數a沒有說明范圍的時候，考分情況討論．