Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)是函數(shù)的極值點，求的值并討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，證明：＞．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）見解析.

【解析】

試題（1）根據(jù)是的極值點得，可得導(dǎo)函數(shù)值為0，即，求得．進一步討論導(dǎo)函數(shù)為正、負的區(qū)間，即得解；

（2）可以有兩種思路，一種是注意到當(dāng)，時，，

轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時，＞．

研究函數(shù)當(dāng)時， 取得最小值且．

證得，==．

得證.

第二種思路是：當(dāng)，時，，根據(jù),轉(zhuǎn)化成．

構(gòu)造函數(shù)，研究得到函數(shù)在時取唯一的極小值即最小值為．達到證明目的.

試題解析：（1），由是的極值點得，

即，所以．　　　 ２分

于是，，

由知 在上單調(diào)遞增，且，

所以是的唯一零點． ４分

因此，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． ６分

（2）解法一：當(dāng)，時，，

故只需證明當(dāng)時，＞．　 ８分

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，

故在上有唯一實根，且． 10分

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

從而當(dāng)時， 取得最小值且．

由得,． 12分

故

==．

綜上，當(dāng)時，．　 14分

解法二：當(dāng)，時，，又,所以

．　 ８分

取函數(shù)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，得函數(shù)在時取唯一的極小值即最小值為．　 12分

所以，而上式三個不等號不能同時成立，故＞． 14分