Question

【題目】設(shè)、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于、的一點(diǎn)．

（1）是橢圓的上頂點(diǎn)，且直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求點(diǎn)到軸的距離；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方，若，求直線(xiàn)的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)，可求得直線(xiàn)的方程，并將直線(xiàn)與橢圓的方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)到軸的距離；

（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，可知，，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而可求得直線(xiàn)的斜率.

（1）設(shè)點(diǎn)，又、、．

直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)的斜率為，

直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立橢圓方程，消去得，

解得，則，因此，點(diǎn)到軸的距離為；

（2）設(shè)、，則，，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入橢圓的方程消去，得，

得，，

由，知，即，

代入上式得，，

所以，解得，

，則，所以，，故直線(xiàn)的斜率為．