Question

【題目】如圖，三棱錐D-ABC中，，E，F分別為DB，AB的中點(diǎn)，且.

（1）求證：平面平面ABC；

（2）求二面角D-CE-F的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，可得，，從而得到平面，得到，由，，得到，從而得到平面，所以平面平面；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用余弦定理和勾股定理，得到，，得到的法向量，平面的法向量，根據(jù)向量夾角的余弦公式，得到二面角的余弦值

（1）如圖取的中點(diǎn)，連接，，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面，

平面

所以.

因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，即，

則.

又因?yàn)?/span>，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面DAB，

所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸，為軸，AD為軸，

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，

在中，

，

所以.

在中，，

所以點(diǎn)，，

.

設(shè)平面的法向量為

.

所以，即，

可取.

設(shè)平面的法向量為

.

所以，即，

可取，

則

因?yàn)槎�面�?/span>為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.