Question

【題目】已知向量 =（2cos2x， ）， =（1，sin2x），函數(shù)f（x）= ﹣1．
（1）當x= 時，求|a﹣b|的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[﹣ ， ]內(nèi)的所有實數(shù)根之和．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由向量 =（2cos2x， ）， =（1，sin2x），

則：a﹣b=（2cos2x﹣1， sin2x）

當x= 時，a﹣b=（2cos2 ﹣1， sin2× ）

=（0， ）

那么：|a﹣b|=

（2）

解：f（x）=ab﹣1=1×2cos2x+ sin2x

=

=1+cos2x+ sin2x﹣1

=2sin（2x+ ）

∴最小正周期T=

由sinx的圖象和性質(zhì)，可知x ，（k∈Z）是增區(qū)間．

∴2x+ 是增區(qū)間，即： ，（k∈Z）

解得： ，（k∈Z）

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為： ，（k∈Z）

（3）

解：由方程f（x）=k，（0＜k＜2），得 ．

∵ 的周期T=π，又 ，

∴ 在 內(nèi)有2個周期．

∵ ，∴方程 在 內(nèi)有4個交點，即有4個實根．

根據(jù)圖象的對稱性，有 ， ，

∴所有實數(shù)根之和=x1+x2+x3+x4+x5+x6= ．

【解析】（1）根據(jù)平面向量加減的運算法則求出a﹣b，化簡，將x= 帶入，求模長．（2）根據(jù)平面向量乘積的運算法則求出f（x），將其化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到答案．（3）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，在[﹣ ， ]內(nèi)求出方程f（x）=k時，x的值，即可解決問題．