Question

【題目】已知點(diǎn) ，橢圓 ： （ ）的離心率為 ， 是橢圓 的右焦點(diǎn)，直線 的斜率為， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求 的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn) 的動(dòng)直線 與 相交于 ， 兩點(diǎn)，當(dāng) 的面積最大時(shí)，求 的方程.

Answer 1

【答案】(1) 的方程為;(2) 的方程為 或.

【解析】試題分析：（1）首先設(shè)，根據(jù)直線的斜率可列式，求。再根據(jù)離心率求，最后根據(jù)求 ，得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程是與橢圓方程聯(lián)立后得到根與系數(shù)的關(guān)系，求弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線的距離，將面積表示為的函數(shù)，換元后求函數(shù)的最值，以及取得最值時(shí)的直線方程.

試題解析：（1）設(shè) ，由條件知， ，得

又 ，所以 ，

故 的方程為

（2）當(dāng) 軸時(shí)不合題意，

故可設(shè)： ， ，

將 代入 得 ，

當(dāng) ，即 時(shí)，

從而

又點(diǎn) 到直線 的距離

所以 的面積

設(shè) ，則 ，

因?yàn)?/span> ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立，滿足

所以，當(dāng) 的最大面積時(shí)，， 的方程為 或