Question

（12分） 已知函數(shù).

（1）求的定義域；

（2）在函數(shù)的圖像上是否存在不同的兩點(diǎn)，使過(guò)此兩點(diǎn)的直線平行于軸；

（3）當(dāng)滿足什么關(guān)系時(shí)，在上恒取正值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）函數(shù)的圖像上不存在不同的兩點(diǎn)，使過(guò)這兩點(diǎn)的直線平行于軸（3）

【解析】

試題分析：（1）由得， 由已知，故，

即函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100423475140954493/SYS201310042348559347114527_DA.files/image001.png">.                                          ……4分

（2）設(shè) 

則 ，

故，

，

即.在上為增函數(shù).

假設(shè)函數(shù)的圖像上存在不同的兩點(diǎn)，使直線平行于軸，即，這與是增函數(shù)矛盾.故函數(shù)的圖像上不存在不同的兩點(diǎn)，使過(guò)這兩點(diǎn)的直線平行于軸.                                            ……8分

（3）由（2）知，在是增函數(shù)，

在上也是增函數(shù).

當(dāng)時(shí)，.

只需，即，即，

時(shí)，在上恒取正值.                              ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)定義域的求解、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和恒成立問(wèn)題的求解，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：定義域和值域必須寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式，恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題解決.