Question

已知集合，其中，表示和中所有不同值的個(gè)數(shù)．

（Ⅰ）設(shè)集合，，分別求和；

（Ⅱ）若集合，求證：；

（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

解：（Ⅰ）由

         得.

         由

         得.--------------------------------------------------5分

（Ⅱ）證明：因?yàn)?sub>最多有個(gè)值，所以

又集合，

任取

當(dāng)時(shí),不妨設(shè)，則，

即.

當(dāng)時(shí)，.

因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， .

即所有的值兩兩不同，

所以   -----------------------------------------------9分

 （Ⅲ） 存在最小值，且最小值為．

不妨設(shè)可得

所以中至少有個(gè)不同的數(shù)，即

事實(shí)上，設(shè)成等差數(shù)列，

考慮，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

因此每個(gè)和等于中的一個(gè)，或者等于中的一個(gè).

所以對(duì)這樣的,所以的最小值為.