Question

已知數列{a_n}中，前n項和為S_n，點（a_n+1，S_n+1）在直線y=4x－2，其中n=1，2，3……，

   （Ⅰ）設b_n=a_n+1－2a_n，且a₁=1，求證數列{b_n}是等比數列；

   （Ⅱ）令f(x)=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，求函數f(x)在點x=1處的導數f′(1)并比較f′(1)與

6n²－3n的大小.

Answer 1

解：（I）由已知點（a­_n+1，S_n+1）在直線y=4x－2上.

        ∴S_n+1=4(a_n+1)－2.

        即S_n+1=4a_n+2.(n=1，2，3，…)

       ∴S_n+2=4a_n+1+2.

       兩式相減，得S_n+2－S_n+1=4a_n+1－4a_n.

       即a_n+2=4a_n+1－4a_n

       a_n+2－2a_n+1=2(a_n+1－2a_n).

       ∵b_n=a_n+1－2a_n，（n=1，2，3，…）

∴b_n+1=2b_n.

由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，a₁=1。

解得a₂=5，b₁=a₂－2a₁=3.

∴數列{b_n}是首項為3，公式為2的等比數列

   （II）由（I）知b_n=3?2^n－1，

         ∵f(x)=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，

∴f′(x)=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n－1.

從而f′(1)=b₁+2b₂+…+nb_n

          =3+2?3?2+3?3?2²+…+n?3?2^n－1

          =3(1+2?2+3?2²+…+n?3?2^n－1)

設T_n=1+2?2+3?2²+…+n?2^n－1，

2T_n=2+2?2²+3?2³+…+（n－1）?2^n－1+n?2ⁿ.

兩式相減，得－T_n=1+2+2²+2³+…+2^n－1－n?2ⁿ

                =.

∴T_n=(n－1)?2ⁿ+1.

∴f′(1)=3(n－1)?2ⁿ+3.

由于f′(1)－(6n²－3n)=3[(n－1)?2ⁿ+1－2n²+n]

                   =3(n－1)[2ⁿ－(2n+1)].

設g(n)= f′(1) －(6n²－3n).

當n=1時，g(1)=0，∴f′(1) =6n²－3n；

當n=2時，g(2)= －3<0，∴f′(1)<6n²－3n；

當n≥時，n－1>0，又2ⁿ=(1+1)ⁿ=≥2n+2>2n+1，

∴(n－1)[2ⁿ－(2n+1)]>0，即g(n)>0,從而f′(1)>6n²－3n.