Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且其離心率為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別相交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定圓

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓方程中,求出a、b,即可得到橢圓C的方程.
(2)根據(jù)條件，分直線的斜率不存在和直線的斜率不存在兩種情況分別求出定圓的方程，,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程組,令，,利用韋達(dá)定理,結(jié)合.推出,利用直線與圓相切,求出圓的半徑,得到圓的方程,即可得到結(jié)果.

解：（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，又∵，解之得，.

所以橢圓的方程為；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性，設(shè)，.

∵，在橢圓上，∴，∴.

∴到直線的距離為，所以.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

由得.

設(shè)，，則，.

∵，∴，

∴.

∴，即.

∴到直線的距離為，

故存在定圓與直線總相切.