Question

【題目】已知橢圓，上頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的不同的兩點(diǎn)，且滿足直線與直線斜率之積為.

（1）若為橢圓上不同于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，求面積的最大值；

（2）試判斷直線是否過定點(diǎn)；若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，由即可得解；

（2）由題意， ，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為： ， ， ，由直線與橢圓聯(lián)立得，由直線與直線斜率之積為，利用坐標(biāo)表示得，解得或，進(jìn)而可得解.

試題解析：

（1）設(shè)，則.

∴面積的最大值為.

（2）由題意， ，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為： ，

設(shè)， ，由，得

①

， ②

∵直線與直線斜率之積為

∴，

將②式代入，化簡得，解得或

（若設(shè)直線的斜截式方程，此處可直接求出直線的縱截距為2或）

當(dāng)時(shí)，直線的方程為： ，過定點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為： ，過定點(diǎn)，將代入①式，

解得

∴直線過定點(diǎn).