【題目】已知集合
，其中
，
．如果集合
滿足：對于任意的
，都有
，那么稱集合具有性質(zhì)
．
（Ⅰ）寫出一個具有性質(zhì)的集合；
（Ⅱ）證明：對任意具有性質(zhì)的集合，
；
（Ⅲ）求具有性質(zhì)的集合的個數(shù)．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）
.
【解析】
（Ⅰ）
;（Ⅱ）利用反證法證明不存在
，使得
；（Ⅲ）設(shè)
為使得
的最大正整數(shù)，則
．再證明
，集合
中大于2000的元素至多有19個，所以
．再證明
不可能成立．即
成立．再推理得到可能取的值為981，982，…，1000，故符合條件的集合個數(shù)為
．因此，滿足條件的集合的個數(shù)為．
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）證明：假設(shè)存在，使得，顯然
，取
，則
，由題意
，而
為集合中元素的最大值，所以，
，矛盾，假設(shè)不成立，
所以，不存在，使得．
（Ⅲ）設(shè)為使得的最大正整數(shù)，則．
若
，則存在正整數(shù)
，使得
，所以
．
同（Ⅱ）
不可能屬于集合．
于是
，由題意知
，
所以，，集合中大于2000的元素至多有19個，所以．
下面證明不可能成立．
假設(shè)，則存在正整數(shù)，使得
，顯然
，
所以存在正整數(shù)
使得
．
而
與為使得的最大正整數(shù)矛盾，所以不可能成立．即成立．
當時，對于任意的
滿足
顯然有
成立．
若
，則
，即
，
所以，
，其中
均為符合題意的集合．
而可能取的值為981，982，…，1000，故符合條件的集合個數(shù)為
．
因此，滿足條件的集合的個數(shù)為．
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
,設(shè)
,且
,記
;
（1）設(shè)
,其中
,試求
的單調(diào)區(qū)間;
（2）試判斷弦
的斜率
與
的大小關(guān)系,并證明;
（3）證明：當
時,
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形ABCD中，
，E為AB的中點．將
沿DE翻折，得到四棱錐
．設(shè)
的中點為M，在翻折過程中，有下列三個命題：
①總有
平面
；
②線段BM的長為定值；
③存在某個位置，使DE與所成的角為90°．
其中正確的命題是_______．（寫出所有正確命題的序號）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知直線
為參數(shù)），以坐標原點為極點，
軸為極軸建立極坐標系，曲線
．
（1）求曲線
的直角坐標方程和直線
的普通方程；
（2）求與直線平行，且被曲線截得的弦長為
的直線
的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某機構(gòu)對A市居民手機內(nèi)安裝的“APP”(英文Application的縮寫，一般指手機軟件)的個數(shù)和用途進行調(diào)研，在使用智能手機的居民中隨機抽取了100人，獲得了他們手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)，整理得到如圖所示頻率分布直方圖：
（Ⅰ）從A市隨機抽取一名使用智能手機的居民，試估計該居民手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)不低于30的概率；
（Ⅱ）從A市隨機抽取3名使用智能手機的居民進一步做調(diào)研，用X表示這3人中手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)在[20,40)的人數(shù)．
①求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
②用Y1表示這3人中安裝APP個數(shù)低于20的人數(shù)，用Y2表示這3人中手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)不低于40的人數(shù)．試比較EY1和EY2的大�。�(只需寫出結(jié)論)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知過定點
且與直線
垂直的直線與
軸、
軸分別交于點
，點
滿足
.
（1）若以原點為圓心的圓
與
有唯一公共點，求圓的軌跡方程；
（2）求能覆蓋的最小圓的面積；
（3）在（1）的條件下，點
在直線
上，圓上總存在兩個不同的點
使得
為坐標原點），求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓：
的四個頂點圍成的四邊形的面積為
，原點到直線
的距離為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知定點
，是否存在過
的直線
，使與橢圓交于
，
兩點，且以
為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，過點
作直線
交
軸于A點、交
軸于B點，且P位于AB兩點之間.
（1）若
，求直線的方程；
（2）求當
取得最小值時直線的方程；
（3）當
面積最小值時的直線方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（Ⅰ）當
時，求
的圖象在點
處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)
，討論函數(shù)
的零點個數(shù).
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