Question

如圖，有一正方形鋼板ABCD缺損一角（圖中的陰影部分），邊緣線OC是以直線AD為對(duì)稱(chēng)軸，以線段AD的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來(lái)，使剩余的部分成為一個(gè)直角梯形．若正方形的邊長(zhǎng)為2米，問(wèn)如何畫(huà)切割線EF，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，有題意可得拋物線的方程為y=

1

4

x2(0≤x≤2)，設(shè)出切點(diǎn)得出切線方程求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出梯形的面積再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最大值，最終解決實(shí)際問(wèn)題．

解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，直線AD為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線弧OC的方程為y=ax²（0≤x≤2）
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），
∴2²a=1，a=

1

4

故邊緣線OC的方程為y=

1

4

x2(0≤x≤2)．
要使梯形ABEF的面積最大，則EF所在的直線必與拋物線弧OC相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P(t，

1

4

t2)(0＜t＜2)，
∵y′=

1

2

x，
∴直線EF的方程可表示為y-

1

4

t2=

1

2

t(x-t)，即y=

1

2

tx-

1

4

t2，
由此可求得E(2，t-

1

4

t2)，F(0，-

1

4

t2)．
∴|AF|=|-

1

4

t2-(-1)|=1-

1

4

t2，|BE|=|(t-

1

4

t2)-(-1)|=-

1

4

t2+t+1，
設(shè)梯形ABEF的面積為S（t），則S(t)=

1

2

|AB|•[|AF|+|BE|]=(1-

1

4

t2)+(-

1

4

t2+t+1)=-

1

2

t2+t+2=-

1

2

(t-1)2+

5

2

≤

5

2

．
∴當(dāng)t=1時(shí)，S(t)=

5

2

．，
故S（t）的最大值為2.5．此時(shí)|AF|=0.75，|BE|=1.75．
答：當(dāng)AF=0.75m，BE=1.75m時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為2.5m²．

點(diǎn)評(píng)：解應(yīng)用題常用的方法是依據(jù)題意建立等量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，而有些應(yīng)用題有明顯的幾何意義，可以考慮利用解析法根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，構(gòu)造曲線方程，利用曲線的性質(zhì)進(jìn)行求解．