Question

17．設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*）．若對(duì)任意正整數(shù)n，都有λ＞$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為$[\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*）．a(chǎn)_n=$\sqrt{\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}}$=$\sqrt{（2n-1）{a}_{n}}$，解得a_n=2n-1.$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a_n=$\sqrt{{S}_{2n-1}}$（n∈N^*）．
∴a_n=$\sqrt{\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}}$=$\sqrt{（2n-1）{a}_{n}}$，解得a_n=2n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$．
∵對(duì)任意正整數(shù)n，都有λ＞$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$恒成立，∴$λ≥\frac{1}{2}$．
則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為$λ≥\frac{1}{2}$．
故答案為：$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和法”、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．