Question

16．已知函數(shù)f（x）=x（1-a|x|）．
（1）當(dāng)a＞0時，關(guān)于x的方程f（x）=a有三個相異實根x₁，x₂，x₃，設(shè)x₁＜x₂＜x₃，求$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}}$的取值范圍；
（2）當(dāng)a≤1時，f（x）在[-1，1]上的最大值為M，最小值為m，若M-m=4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x∈（-∞，0]}\\{-a{x}^{2}+x，x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，作其圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合求解得a∈（0，$\frac{1}{2}$）；從而可得x₂+x₃=$\frac{1}{a}$，x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+4{a}^{2}}}{2a}$，從而求得；
（2）顯然，f（x）為R上的奇函數(shù)，從而可得M=2，再分類討論求最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x∈（-∞，0]}\\{-a{x}^{2}+x，x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$，
當(dāng)a＞0時，其圖象如右圖所示，
∵直線y=a與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，
∴f（$\frac{1}{2a}$）＞a＞0，即$\frac{1}{4a}$＞a＞0，
解得，a∈（0，$\frac{1}{2}$）；
其次，由韋達定理及求根公式可得，
x₂+x₃=$\frac{1}{a}$，x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+4{a}^{2}}}{2a}$，
從而可得，$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}}$=-$\frac{\sqrt{1+4{a}^{2}}+1}{2}$，
注意到a∈（0，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{3}}$∈（-$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，-1）．
（2）顯然，f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴M-m=2M=4，
當(dāng)a=0時，經(jīng)檢驗不符合題意，舍去；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
故M=f（1）=1-a=2，
故a=-1；
當(dāng)a＞0時，f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2a}$）和（$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞減，
在（-$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞增；
①當(dāng)$\frac{1}{2a}$≥1，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）[-1，1]上單調(diào)遞增，
可解得a=-1（舍去），
②當(dāng)$\frac{1}{2a}$＜1，即$\frac{1}{2}$＜a＜1時，f（x）在[-1，1]上的最大值為f（$\frac{1}{2a}$）=$\frac{1}{4a}$=2，
解得，a=$\frac{1}{8}$（舍去）；
綜上所述，a=-1．

點評 本題考查了分類討論的思想與數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．